Cours fondamental 2 (GA)
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Pas de notes de cours prévues.
La théorie de Hodge est un outil extraordinairement puissant pour
l'étude des variétés algébriques complexes, particulièrement dans le
cas projectif lisse où elle fournit des structures de Hodge attachées à
ces variétés. On partira de ces objets dont la construction et les
propriétés sont traitées dans le cours "Théorie de Hodge
I". Les structures de Hodge contiennent des informations très riches
dont la partie discrète vient de la topologie et la partie continue
vient de la géométrie algébrique. Cette partie continue est liée à la
théorie des déformations des variétés algébriques, et son étude donne
lieu à la théorie des variations de structures de Hodge. Mon but est de
présenter les applications à la géométrie algébrique des variations de
structures de Hodge. Plus précisément, j'aimerais expliquer les
démonstrations des quatre théorèmes suivants dont les démonstrations
(sauf pour le second) reposent sur l'analyse des variations de
structures de Hodge.
1) Le théorème de Torelli générique pour les courbes et les hypersurfaces.
2) Le théorème de Bogomolov-Tian-Todorov suivant la méthode de Ran.
3) La conjecture de Hodge entière pour les variétés de Calabi-Yau de dimension 3.
4) Le théorème de Noether-Lefschetz pour les surfaces de degré au
moins 4 et la trivialité de l'application d'Abel-Jacobi pour les
hypersurfaces très générales de dimension 3 et de degré au moins 6.