Cours fondamental 2 (GA)

Déformations des variétés algébriques et théorie de Hodge

Claire Voisin (Travaux dirigés par ??)

Contact : claire.voisin à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Présentation

La théorie de Hodge est un outil extraordinairement puissant pour l'étude des variétés algébriques complexes, particulièrement dans le cas projectif lisse où elle fournit des structures de Hodge attachées à ces variétés. Ces structures de Hodge contiennent des informations très riches dont la partie discrète vient de la topologie et la partie continue vient de la géométrie algébrique. Cette partie continue est liée à la théorie des déformations des variétés algébriques, et son étude donne lieu à la théorie des variations de structures de Hodge. Mon but est de présenter les applications à la géométrie algébrique des variations de structures de Hodge. Plus précisément, j'aimerais expliquer les démonstrations des trois théorèmes suivants.

1) Le théorème de Torelli générique pour les courbes et les hypersurfaces.

2) Le théorème de Bogomolov-Tian-Todorov suivant la méthode de Ran.

3) La conjecture de Hodge entière pour les variétés de Calabi-Yau de dimension 3.

Contenu

• Complexes de de Rham algébrique et holomorphe. Suite spectrale de Frölicher.
• Structures de Hodge, classes de Hodge, classes de cycles, polarisations, théorèmes de Lefschetz.
• Complexes de de Rham relatifs. Fibrés de Hodge, variations de structures de Hodge.
• Théorie des déformations, espace tangent et obstructions. Le principe de relèvement T1
• Complexes de de Rham logarithmiques. Structures de Hodge mixtes, structures de Hodge des hypersurfaces
• Variations infinitésimales de structures de Hodge

Prérequis

Bibliographie

• Voisin. Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe . SMF 2002 URL