Cours fondamental 1 (TN)
Introduction aux formes modulaires
Pierre Charollois
Contact : pierre.charollois à imj-prg.fr
Des notes de cours seront disponibles. Cours en français.
Présentation
Ce cours est une introduction aux formes modulaires classiques.
Ce sont des fonctions holomorphes qui satisfont une propriété
d'invariance sous l'action par homographies d'un sous-groupe
d'indice fini de SL(2,Z).
Elles ont des propriétés analytiques, géométriques, algébriques et arithmétiques remarquables.
Contenu
- Exemples classiques, liens avec les fonctions elliptiques.
- Formes modulaires sur SL(2,Z).
- Formes modulaires sur (certains) sous-groupes discrets de SL(2,R). Courbes modulaires.
- Opérateurs de Hecke, liens avec les fonctions L.
- Séries d'Eisenstein, méthode de Rankin-Selberg.
- Si le temps le permet : fonctions thêta, périodes, multiplication complexe, exemples de formes modulaires plus générales, réformulation en termes de la théorie de groupes.
Prérequis
Fonctions d'une variable complexe.
Bibliographie
- J.P. Serre. Cours d'arithmétique.
- D. Zagier. L'article dans The 1-2-3 of Modular Forms. Universitext. Springer.
- T. Miyake. Modular Forms. Springer.
- A. Ogg. L'article dans Modular Functions of One Varible. Lecture Notes in Mathematics 320. Springer.
- H. Cohen, F. Stromberg. Modular Forms. A Classical Approach. Graduate Studies in Mathematics 179. American Mathematical Society.
- F. Diamond, J. Shurman. A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer.