Cours spécialisé (Phy)

Géométrie différentielle et physique mathématique

Frédéric Hélein

Contact : frederic.helein à imj-prg.fr

Pas de notes de cours prévues.

Langue du cours : Français

Présentation

Le but de ce cours est de présenter un ensemble varié de concepts de géométrie différentielle qui tirent leur origine de la physique (mécanique classique, quantique, théorie des champs classique ou quantique, théorie de jauge et leur quantification). Ces concepts se sont imposés comme des outils puissants et présents dans plusieurs branches des mathématiques.

Contenu

du calcul des variations à une variable aux variétés symplectiques, variétés de Poisson : crochet de Poisson, théorème de Noether et application moment, réduction symplectique
du calcul des variations à plusieurs variations à la théorie des champs : variétés multisymplectiques, crochet et les deux théorèmes de Noether
espace de phase covariant et (pré)quantification géométrique : exemple de la particule relativiste et du spin
un modèle géométrique de gravitation couplée à Yang-Mills inspiré du modèle de Kaluza-Klein
supersymétrie et supervariétés
quantification des théories de jauge et fixation de jauge : fantôme de Faddeev-Popov, symétrie BRST (Bechi-Rouet-Stora-Tuytin), théorie de BV (Batalin-Vilkovisky); application : le modèle Poisson-sigma

Prérequis

géométrie différentielle, calcul différentiel extérieur. Une connaissance de la théorie des fibrés différentiels et des connexions sera utile.

Bibliographie

auteurs, a remplacer. titre, a remplacer. references, a remplacer URL, a remplacer
S. Bates, A. Weinstein. Lectures on the geometry of quantization. Berkeley Mathematics lecture notes, vol. 8 , 1997, AMS https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf
F. Gieres. Covariant canonical formulations of classical field theories. SciPost Phys. Lect. Notes 77 (2023) https://scipost.org/SciPostPhysLectNotes.77/pdf
F. Hélein. Gauge and Gravity theories on a dynamical principal bundle. https://arxiv.org/abs/2310.14615
P. Mnev. Lectures on Batalin-Vilkovisky formalism and its applications in topological quantum field theory. University Lecture Series 2019, Vol. 72, AMS https://www.ams.org/books/ulect/072/ulect072.pdf , http://www.arxiv.org/abs/1707.08096
A. Cattaneo, B. Keller, C. Torossian, A. Brughières. Déformation, quantification, théorie de Lie. Panoramas et synthèses, 2005, SMF