Cours introductif (GA, Lie, TA)
Homologie, cohomologie et faisceaux
Bernhard Keller
(Travaux dirigés par Gentiana DANILA)
Contact : bernhard.keller à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Langue du cours : français
Présentation
Les outils de l´algèbre homologique sont incontournables en topologie algébrique, en théorie des représentations, en géométrie algébrique, ... .
Nous donnerons dans ce cours les bases de la théorie des catégories et de l'algèbre homologique et nous étudierons des foncteurs dérivés comme Tor et Ext. Les principaux exemples seront des catégories de modules et de (pré-)faisceaux.
Nous appliquerons ces notions à l'étude de la (co)homologie des faisceaux et à l'homologie singulière des espaces topologiques.
Contenu
- Language des catégories, foncteurs, transformations naturelles, propriétés universelles, (co)limites ...
- Adjonctions et équivalences de catégories
- Complexes de chaînes et algèbre homologique
- Catégories dérivées, foncteurs dérivés, foncteurs Ext et Tor
- Introduction à la cohomologie des faisceaux
- Introduction à la (co)homologie singulière
Prérequis
Il n'y a pas techniquement énormément de prérequis, mais il est préférable d'avoir quelques notions de topologie, et de bonnes bases en algèbre.
Bibliographie
- Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 5. Springer-Verlag, New York, 1998.
- Emily Riehl. Category Theory in Context. Aurora: Dover Modern Math Originals, 2017.
https://math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf
- Charles Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
- Henning Krause. Homological theory of representations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 195. Cambridge University Press, Cambridge, 2021.
- Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html