Cours spécialisé (TN)
Contact : pascal.molin à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues. Cours en français.
Ce cours est une introduction à la théorie algorithmique des nombres.
Comme direction, on se propose de décrire les techniques algorithmiques
permettant de calculer, pour un corps de nombres $K$, chaque membre
de la formule du nombre de classes
$$ Res_{s=1}\zeta_K(s) = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\mathrm{Reg}_K h_K}{w_K\sqrt{|D_K|}} $$
ce qui du côté algébrique comprend le calcul de l'anneau des entiers
d'un corps de nombres, des groupes de classes et des unités ;
et du côté analytique le calcul de la série de Dirichlet et l'évaluation
numérique de son prolongement méromorphe.
Des progr\ès récents ont été faits dans chacun de ces aspects (notamment sur l'exploitation de la structure galoisienne ou les méthodes analytiques).
Si le temps le permet, on montrera également comment ces outils interviennent
pour démontrer la conjecture d'Artin sur quelques fonctions L simples,
ou bien on donnera des éléments sur le cas des courbes algébriques
(formules BSD).
Pour accompagner le cours, des probl\èmes à résoudre à l'aide de l'ordinateur
seront donnés (avec les logiciels Sage, Pari ou Magma).