Cours fondamental 2 (GD, Lie)
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Les espaces localement symétriques
sont des variétés riemanniennes vérifiant une condition de symétrie supplémentaire : pour tout point de l'espace, l'involution géodésique est une isométrie locale. Lorsque cette isométrie localement définie s'étend
en une isométrie globale, on dit que l'espace est globalement symétrique.
Partant de cette définition assez élémentaire,
Élie Cartan, inspiré par des idées de Wilhelm Killing, classifie les espaces
globalement symétriques complets simplement connexes.
Une preuve est basée sur la classification des algèbres de Lie réelles simples.
Le but du cours est d'expliquer des notions de base sur la géométrie de ces espaces.
On commencera par la décomposition de Cartan : tout espace globalement symétrique complet et simplement connexe est un produit riemannien d'un espace euclidien, d'un espace symétrique compact et d'un espace symétrique
à courbure <= 0 dont le groupe des isométries est semi-simple. Ces dernières sont appelés
de type non-compact.
Ensuite on ciblera les espaces de type non-compact pour étudier leur structure à l'infini: bord visuel, bord de Furstenberg, etc.
On finira
par l'étude des
espaces localement symétriques de type non-compact et notamment des résultats de Benoist sur la structure de leur ensemble limite dans le bord visuel.