Cours spécialisé (GT,TA)
Contact : benaribi à imj-prg.fr
Notes de cours : https://www.normalesup.org/~benaribi/Cours_Alexander_31mai2021.pdf
La théorie des noeuds est une branche de la topologie de petite dimension qui vise à classifier les noeuds et entrelacs, i.e. les plongements de cercles dans l’espace de dimension 3.
Pour classifier les noeuds, on utilise des invariants dont les constructions touchent à de multiples domaines (combinatoire, topologie, topologie algébrique, théorie des groupes, théorie des représentations, géométrie hyperbolique...).
Un de ces invariants est le polynôme d'Alexander, un polynôme de Laurent à coefficients entiers aux nombreuses définitions, qui vient de fêter son centenaire.
Dans ce cours, on se propose donc d’explorer les différentes facettes de la théorie des noeuds (combinatoire de diagramme, surfaces plongées, homologie de revêtement, invariants quantiques, représentations de groupes de tresses...) en suivant le fil rouge qu'est le polynôme d’Alexander : chaque chapitre sera illustré par une nouvelle définition de cet invariant.
Ainsi, nous pourrons mettre en évidence des liens entre divers domaines, toujours étudiés dans la recherche actuelle. On s'entraînera aussi à dessiner des noeuds et à reconnaître les méthodes de calculs d'invariants les plus efficaces selon la situation.