Cours spécialisé (Phys,HFE,Pro,Dyn)

Théorie des opérateurs aléatoires et applications à la localisation d'Anderson

Hakim Boumaza

Contact : boumaza à math.univ-paris13.fr

Notes de cours : https://www.math.univ-paris13.fr/~boumaza/enseignement.html

Langue du cours : à déterminer selon les souhaits des étudiants

Présentation

Dans ce cours je présenterai les bases de la théorie des familles ergodiques d'opérateurs aléatoires. Je regarderai en particulier le modéle d'Anderson, discret et continu pour lequel on calculera le spectre presque-s\^ur. Je me focaliserai ensuite sur les modèles quasi-unidimensionnels de type Anderson pour lesquels je montrerai comment on peut étudier la question de la localisation d'Anderson à l'aide du formalisme des matrices de transfert et des exposants de Lyapounov, via l'analyse multi-échelle. Enfin si le temps le permet, je parlerai rapidement des modèle quasi-unidimensionnels de type Dirac et de type unitaire.

Contenu

• Familles ergodiques d'opérateurs aléatoires. Spectre presque-s\^ur.
• Modèle d'Anderson. Localisation d'Anderson.
• Modèles quasi-undimensionnels. Matrices de transfert, exposants de Lyapounov.
• Principes de l'analyse multi-échelle.
• Preuve de la localisation pour les modèles d'Anderson quasi-1d.

Prérequis

Bibliographie

• R. Carmona, J. Lacroix. Spectral theory of random Schr\"odinger operators.
• M. Reed, B. Simon. Analysis of operators .
• M. Aizenman, S. Warzel. Random Operators.