Cours fondamental 1 (TN)

Introduction aux formes modulaires

Farrell Brumley

Contact : brumley à imj-prg.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Langue du cours : français

Présentation

Les formes modulaires jouent un rôle essentiel dans la théorie des nombres moderne, comme en témoigne la preuve par Wiles du dernier théorème de Fermat, et ont leurs racines dans des questions arithmétiques fondamentales, telles que la formule de Jacobi du nombre de représentations d'un entier comme somme de 4 carrées. Ce cours introduira ses objets, donnera des exemples, explorera quelques-unes de leurs propriétés arithmétiques et analytiques, et introduira des outils nécessaires à leur étude.

Contenu

• Géométrie hyperbolique (demi-plan de Poincaré, SL2(Z) et ses sous-groupes de congruences)
• Formes modulaires (définitions et exemples: séries thêta, séries d'Eisenstein, séries de Poincaré, Ramanujan Delta) et leur coefficients de Fourier
• Opérateurs de Hecke, le calcul de leurs traces par Eichler-Selberg, la théorie des formes nouvelles, lien avec les fonctions L
• Multiplication complexe, algébraicité des modules singuliers, principe du q-développement
• Séries d'Eisenstein (continuation analytique, équation fonctionnelle, terme constant, preuve de Bernstein)
• Formules de traces (existence des formes de Maass cuspidales pour SL2(Z), preuve par amplification)

Prérequis

Bibliographie

• J.P. Serre. Cours d'arithmétique.
• T. Miyake. Modular Forms. Springer.
• F. Diamond, J. Shurman. A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer.
• H. Cohen, F. Stromberg. Modular Forms. A Classical Approach. Graduate Studies in Mathematics 179. American Mathematical Society.
• D. Zagier. L'article dans The 1-2-3 of Modular Forms. Universitext. Springer.
• N. Bergeron. Le spectre des surfaces hyperboliques. EDP Sciences.