Cours introductif (GA)
Variétés algébriques
Mathieu Florence
Contact : mflorence à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Langue du cours : français, avec interactions orales en anglais bienvenues durant le cours.
Présentation
Le contenu de ce cours est essentiellement le même que celui de J.-F. Dat en 2023/24. On introduit le langage des variétés algébriques, qui systématise l'étude des solutions d'équations polynomiales à coefficients dans un corps (supposé ici parfait).
On définira la notion de point lisse et d'espace tangent. On construira les courbes projectives lisses, en introduisant leur groupe de Picard (classes d'équivalence de diviseurs).
Contenu
- ensembles algébriques, topologie de Zariski, composantes irréductibles, sous-variétés
- variétés (affines, projectives, abstraites), exemples
- dimension, régularité, espace tangent
- courbes projectives lisses et corps de degré de transcendence 1
- diviseurs sur les courbes projectives lisses, formule du degré et groupe de Picard
- Théorème d'intersection de Bézout (énoncé, et démontré si temps)
Prérequis
Familiarité avec l'algèbre commutative: modules sur un anneau, quotient, localisation, produit tensoriel, platitude... C'est la grammaire de la géométrie algébrique: à intégrer dès le début, solidement et sans excès!:) Des révisions seront faites en TD si nécessaire.
Vous pouvez lire le premier chapitre du livre de U. Görtz et T. Wedhorn. Notez cependant que les schémas ne seront pas abordés dans ce cours.
Bibliographie