Cours fondamental 1 (GA, TN)
Contact : javier.fresan à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ est une courbe algébrique lisse que l'on peut obtenir comme lieu des zéros d'un polynôme homogène de degré 3 dans le plan projectif sur $\mathbf{Q}$. C'est en quelque sorte l'objet le plus simple de la géométrie arithmétique après les ``quadriques".
Les points complexes d'une courbe elliptique forment une surface de Riemann dont l'espace topologique sous-jacent est un tore, et donc en particulier un groupe. Le fait que cette loi de groupe soit algébrique et définie sur $\mathbf{Q}$ permet d'attacher des invariants arithmétiques très importants, à savoir la structure du groupe des points rationnels et l'action de Galois sur les points ``de torsion''. Le but de ce cours sera d'introduire ces notions afin de pouvoir énoncer deux conjectures majeures du 20ème siècle : celle de Birch et Swinnerton-Dyer, toujours ouverte, et celle dite ``de modularité", célèbre pour impliquer le théorème de Fermat, et prouvée par Wiles, Taylor et al.