Cours fondamental 1 (Lie)
Groupes quantiques et algèbres amassées
David Hernandez
(Travaux dirigés par A déterminer)
Contact : david.hernandez à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Langue du cours : A déterminer selon les souhaits des étudiants.
Présentation
La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d'autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...). Le but de ce cours est double : étudier des généralisations (de dimension infinie et quantiques) ainsi que certaines de leurs applications importantes. On évoquera notamment le lien avec les systèmes intégrables quantiques, ainsi que la catégorification des algèbres amassées, structures fondamentales inventées en 2000, qui apparaissent également dans un grand nombre d'autres sujets mathématiques (géométries, théorie de Teichmuller, topologi esymplectique...)
Contenu
- Algèbres de Kac-Moody
- Groupes quantiques
- Algèbres amassées
- Systèmes intégrables quantiques
- Catégorifications monoïdales
Prérequis
Cours introductif : Théorie de Lie, représentations et géométrie I
Bibliographie
- Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1990
- Chari and Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
- Kassel. Quantum Groups. GTM, 1995
- Hernandez. Symmetries of Grothendieck rings in representation theory. Proceedings of the 9th European Congress of Mathematics
arXiv:2501.03024
- Fomin and Zelevinsky. Cluster algebras. I. Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 497--529
- Fomin and Zelevinsky. Cluster algebras. II. Finite type classification. Invent. Math. 154 (2003), no. 1, 63-- 121