Cours fondamental 2 (EDP, Phy, HFE)

Introduction aux équation dispersives

Jacek Jendrej

Contact : jendrej à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~jacek.jendrej/enseignement/Dispersives-25/poly.pdf

Langue du cours : à déterminer selon les souhaits des étudiants

Présentation

L'objectif de ce cours est d'introduire les notions fondamentales de la théorie des équations aux dérivées partielles dites dispersives. Ces équations modélisent les ondes dispersives, c'est-à-dire les ondes dont la vitesse de propagation dépend du nombre d'onde.
La dispersion joue un rôle crucial dans la description de nombreux phénomènes physiques, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Dispersion_(m%C3%A9canique_ondulatoire).

Dans la première partie du cours, nous présentons une théorie générale des équations dispersives linéaires. Ensuite, nous nous intéressons aux ondes dispersives non linéaires, en nous focalisant sur le cas de l'équation de Klein-Gordon.

Contenu

Équations dispersives linéaires et leur résolution par la transformation de Fourier. Relation de dispersion. Lemme de la phase stationnaire. Notion de vitesse de groupe d'une onde. Description asymptotique des ondes dispersives en temps grand. Estimations de dispersion.
Équation de Klein-Gordon non linéaire. Caractère bien posé (problème de Cauchy). Description asymptotique des solutions en temps grand dans différents régimes asymptotiques. Scattering non linéaire.
Si le temps le permet: Scattering modifié en dimension 1. Formes normales.

Prérequis

Calcul différentiel; équations différentielles ordinaires; transformation de Fourier; notions de base sur l'analyse fonctionnelle et les équations aux dérivées partielles. Il est recommandé d'avoir suivi les cours HFE et EDP proposés dans le programme M2.

Bibliographie

Muscalu, Camil et Schlag, Wilhelm. Classical and Multilinear Harmonic Analysis. Volumes I and II. Cambridge University Press, 2013
Sulem, Catherine et Sulem, Pierre-Louis. The Nonlinear Schr\"odinger Equation. Self-Focusing and Wave Collapse. Springer, 1999
Tao, Terrence. Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis. AMS, 2006
Whitham, Gerald B.. Linear and Nonlinear Waves. John Wiley and Sons, 1974