Cours fondamental 2 (GD,HFE,EDP,GT)
Introduction à la géométrie spectrale
Romain Petrides
Contact : romain.petrides à imj-prg.fr
Pas de notes de cours prévues.
Langue du cours :
Présentation
Un objectif de la géométrie spectrale est de relier des informations géométriques (volume, courbures etc) ou topologiques d'une variété riemannienne au comportement du spectre de son Laplacien, ou d'autres opérateurs. Après une introduction aux questions principales en géométrie spectrale, nous nous concentrerons sur des problèmes d'optimisation de valeurs propres.
Contenu
- Théorème spectral pour le Laplacien et caractérisation min-max des valeurs propres
- Asymptotiques spectrales, loi de Weyl
- Géométrie nodale des fonctions propres
- Inégalités géométriques pour les valeurs propres
- Une méthode variationnelle pour optimiser des valeurs propres
Prérequis
Connaissances de base sur les EDPs elliptiques et la géométrie différentielle. Cours conseillés : Géométrie différentielle et riemannienne, Introduction à l’analyse géométrique, Calcul des variations
Bibliographie
- M. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet. Le spectre d’une variété riemannienne. Lecture Notes in Mathematics 194, Springer, 1971
- I. Chavel. Eigenvalues in Riemannian geometry. Academic Press, 1984
- R. Schoen, S.-T. Yau. Lectures in Differential geometry. Int. Press, 1994
- A. Henrot. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators. Frontiers in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006
- M. Levitin, D. Mangoubi, I. Polterovich. Topics in Spectral Geometry. AMS Graduate Studies in Mathematics series volume 237, 2023
https://www.michaellevitin.net/Book/TSG230529.pdf