Cours fondamental 1 (HFE)
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La géométrie convexe en grande dimension constitue aujourd'hui un domaine central de l'analyse mathématique, à la confluence de la géométrie des espaces de Banach, de l'analyse fonctionnelle et des probabilités. Son objet est l'étude des corps convexes et des espaces normés lorsque la dimension tend vers l'infini, régime dans lequel apparaissent des phénomènes de concentration et d'universalité qui n'ont aucun équivalent en basse dimension. Ces phénomènes, parfois contre-intuitifs, se révèlent gouvernés par des lois quantitatives précises et certains principes fondamentaux, tel que le phénomène de concentration de la mesure.
Ce premier cours pose les fondements de cette théorie. On développe le langage de base de la convexité et de la dualité, puis établit les inégalités fonctionnelles fondamentales autour de la théorie de Brunn-Minkowski, le point de vue fonctionnel de Prékopa-Leindler, de la concentration gaussienne et sphérique. On introduit ensuite certains principes de base concernant les corps convexes et les espaces normés en grande dimension (ellipsoide de John, la distance de Banach-Mazur, sections et projections aléatoires), avant d'aboutir au théorème de Dvoretzky, résultat fondateur affirmant que tout espace normé de grande dimension contient des sous-espaces de dimension arbitrairement grande qui sont presque isométriques à un espace euclidien. D'autres résultats classiques autour du théorème de Dvoretzky seront également abordés.