Cours spécialisé (GA, Lie)
Faisceaux pervers et applications
Lucien Hennecart
Contact : lucien.hennecart à cnrs.fr
Des notes de cours seront disponibles.
Langue du cours : à déterminer selon les souhaits des étudiants
Présentation
Le but de ce cours est d'introduire les faisceaux pervers et leurs applications.
Les faisceaux pervers sur une variété algébrique forment une sous-catégorie abélienne de la catégorie dérivée constructible. À ce titre, ils constituent des outils puissants pour l'étude des variétés singulières. L'un des résultats fondamentaux dans ce domaine est le théorème de décomposition, selon lequel l'image directe par un morphisme propre préserve les complexes semi-simples.
Pour les applications à la théorie des représentations, il est souvent important de travailler en présence de l'action d'un groupe auxiliaire. Nous introduirons donc la catégorie dérivée équivariante ainsi que les faisceaux pervers équivariants.
Le cours d'Emmanuel Letellier sur les faisceaux caractères est conseillé comme exemple d'application des faisceaux pervers à la théorie des représentations.
Contenu
- catégorie dérivée constructible et version équivariante, stratifications et constructibilité
- dualité de Verdier, les 6 opérations
- t-structures, faisceaux pervers, complexes d'intersection et extension intermédiaire, classification des faisceaux pervers simples
- morphismes petits et semi-petits, petites résolutions, critères de perversité pour les images directes, strates pertinentes
- faisceaux pervers équivariants, actions de groupes algébriques, quotients et champs quotients, foncteurs équivariants, exemples avec un nombre fini d'orbites
- applications en théorie des représentations, correspondance de Springer, résolution de Springer
Prérequis
Il est conseillé mais non obligatoire de se cultiver en amont sur les catégories dérivées.
Cours fortement conseillés : Variétés algébriques, Cohomologie et faisceaux ; géométrie complexe et théorie de Hodge, Faisceaux caractères ;
Cours utiles : Théorie de Lie I, II et Groupes quantiques et algèbres amassées (pour étudier ensuite les applications des faisceaux pervers en théorie des représentations), Théorie des schémas (pour l'étude des faisceaux pervers sur des corps arbitraires)
Bibliographie
- A. A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, O. Gabber. Faisceaux pervers. Astérisque 100, 1982
- P. N. Achar. Perverse Sheaves and Applications to Representation Theory. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 258, American Mathematical Society, 2021
- M. A. de Cataldo, L. Migliorini. The decomposition theorem, perverse sheaves and the topology of algebraic maps. Bulletin of the American Mathematical Society 46 (2009), no. 4, 535--633
- J. Bernstein, V. Lunts. Equivariant Sheaves and Functors. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1578, Springer, 1994.