Cours introductif (TN, FA, GA)
Théorie algébrique des nombres I
Diego IZQUIERDO
(Travaux dirigés par Francesco Lemma)
Contact : izquierdo à imj-prg.fr
Notes de cours : https://perso.pages.math.cnrs.fr/users/diego.izquierdo/enseignement/
Langue du cours : A déterminer selon les souhaits des étudiants
Présentation
Le cours vise à exposer les fondements classiques de la théorie algébrique des nombres, en vue des autres cours d'arithmétique du M2. En guise d'application des différentes notions introduites, il se terminera avec une preuve du théorème de Hasse-Minkowski.
Contenu
- Anneaux d’entiers algébriques, anneaux de Dedekind, introduction à la théorie de la ramification.
- Géométrie des nombres, finitude du nombre de classes, théorème des unités.
- Corps valués, complétions, corps p-adiques, le langage des adèles.
- Fonctions zêta et fonctions L, théorème de Chebotarev.
- Introduction à la théorie du corps de classes (qui sera développée en détail en Théorie Algébrique des Nombres II) et application au théorème de Hasse-Minkowski.
Prérequis
Etre à l’aise avec les outils fondamentaux d’algèbre : groupes, anneaux, modules, corps, théorie de Galois. Pour la partie en théorie analytique des nombres : être à l’aise avec l’analyse complexe.
Bibliographie
- Cassels-Fröhlich. Algebraic Number Theory.
- Neukirch. Algebraic Number Theory.
- Serre. Corps locaux.
- Serre. Cours d'arithmétique.