Cours fondamental 2 (HFE)

Convexité en grande dimension II

Joseph Lehec

Contact : joseph.lehec à univ-poitiers.fr

Des notes de cours seront disponibles.

Langue du cours :

Présentation

Ce cours prolonge les résultats vus au cours précédent, et a pour but de s'approcher progressivement des outils et des questions étudiés ces dernières années. Tout d'abord on approfondit le point de vue fonctionnel (mesures log-concaves, vecteurs isotropes), ainsi que l’étude des processus gaussiens. On aborde ensuite le théorème de Bourgain-Milman (forme inverse de l'inégalité de dualité de Santalo), puis on étudie la position~M. On introduit la concentration autour d’une couronne, et ses liens avec les th\’eorèmes central limite pour les convexes. Enfin on fera le lien avec le problème de l’hyperplan et des questions isopérimétriques en grandes dimensions, en abordant les résolutions récentes à certaines des conjectures majeures du domaine.

Contenu

• Mesure log-concave, isotropie, inégalités fonctionnelles (Poincaré, Cheeger)
• Entropie des processus gaussiens, retour sur Dvoretzky
• Dualité, inégalité de Santalo et de Bourgain-Milman
• Transformée de laplace logarithmique, M-ellipsoides
• Introduction à la localisation stochastique.

Prérequis

Bibliographie

• R. Vershynin. High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge University Press, 201
• S. Artstein-Avidan, A. Giannopoulos et V. D. Milman. Asymptotic Geometric Analysis, Part I. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 202, American Mathematical Society, 2015
• S. Brazitikos, A. Giannopoulos, P. Valettas et B.-H. Vritsiou. Geometry of Isotropic Convex Bodies. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 196, American Mathematical Society, 2014
• B. Klartag et J. Lehec. Isoperimetric inequalities in high-dimensional convex sets. Amer. Math. Soc., vol. 62, n° 4, 2025, p. 575–642