Cours fondamental 1 (GA, TN)
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Pas de notes de cours prévues.
Une courbe elliptique est une courbe algébrique lisse qu'on peut obtenir comme lieu des zéros d'un polynôme homogène cubique dans le plan projectif.
Les points complexes d'une courbe elliptique forment une surface de Riemann dont l'espace topologique sous-jacent est un tore, et donc en particulier un groupe.
Le fait que cette loi de groupe soit algébrique et définie sur les rationnels permet d'attacher des invariants arithmétiques très importants, à savoir la structure du groupe des points rationnels et l'action de Galois sur les points de torsion.
Le but de ce cours est d'introduire ces notions afin de pouvoir énoncer deux conjectures majeures du 20ème siècle : celle de Birch--Swinnerton-Dyer, toujours ouverte, et celle de modularité, célèbre pour son lien avec le théorème de Fermat, et prouvée par Taylor--Wiles dans le cas semi-stable.