Cours introductif (GA, TA, TN, GC, Lie)

Catégories, cohomologie, faisceaux

Benoit Stroh

Contact : benoit.stroh à imj-prg.fr

Notes de cours : https://webusers.imj-prg.fr/~benoit.stroh/

Langue du cours : francais

Présentation

Les outils catégoriques et cohomologiques jouent une importance cruciale aujourd'hui en topologie et géométrie algébrique, mais aussi en théorie des nombres,théorie des représentations, etc.

Nous introduirons ces outils en tentant de privilégier un point de vue le plus moderne possible : nous étudierons ainsi les bases des techniques simpliciales, les 2-catégories, etc, et illustrerons dés que possible les limites des techniques usuelles des catégories, qui motiveront plus tard dans l'année l'introduction des infty-cat\{egories.

Nous étudierons en détail la notion de faisceau, avec plusieurs exemples venant de domaines différents des mathématiques.

Nous expliquerons ensuite le formalisme des foncteurs dérivés, avec une emphase sur la cohomologie des faisceaux.

Contenu

• Théorie des catégories : \'équivalences, foncteurs, adjonction
• Aspects catégoriques plus avancés : 2-catégories, techniques simpliciales, univers, théorème du foncteur adjoint
• Théorie des faisceaux
• Cohomologie : catégories abéliennes et foncteurs dérivés

Prérequis

Bibliographie

• Mac Lane. Categories for the working mathematician. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 5. Springer-Verlag, New York, 1998.
• Ducros. Cours de M1 sur les catégories. https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.ducros/Categories-M1.pdf
• Weibel. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
• Kashiwara-Shapira. Categories and sheaves. Grundlehren der mathematischen Wissenschaft 332